Question

19．已知函數(shù)f（x）=x-a-lnx（a∈R）．
（1）若f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）證明：若0＜x₁＜x₂，則x₁lnx₁-x₁lnx₂＞x₁-x₂．

Answer 1

分析 （1）判斷f（x）的單調(diào)性，計(jì)算f（x）的最小值，令f_min（x）≥0即可得出a的范圍；
（2）令a=1，根據(jù)f（x）≥0得出lnx≤x-1在（0，+∞）上恒成立，把x=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$代入化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
令f'（x）＞0，得x＞1；令f'（x）＜0，得0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f_min（x）=f（1）=1-a，
∵f（x）≥0恒成立，
∴1-a≥0，解得a≤1．
（2）證明：取a=1，f（x）=x-1-lnx，
由（1）知x-1-lnx≥0恒成立，即lnx≤x-1恒成立，
∴$ln\frac{x_2}{x_1}＜\frac{x_2}{x_1}-1$，（0＜x₁＜x₂），
∴l(xiāng)nx₂-lnx₁＜$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-1，∴x₁lnx₂-x₁lnx₁＜x₂-x₁．
∴x₁lnx₁-x₁lnx₂＞x₁-x₂．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)最值的計(jì)算及單調(diào)性應(yīng)用，屬于中檔題．