Question

10．已知圓O：x²+y²=4．點M（4，0），過原點的直線（不與x軸重合）與圓O交于A，B兩點，則△ABM的外接圓的面積的最小值為$\frac{25π}{4}$．

Answer 1

分析 本題求解三角形外接圓的面積最小值，即求外接圓的半徑最小值．又因為AB的長度為定值，所以僅需求∠AMB正弦的最大值即可，即求∠AMB余弦的最小值，因此可以使用余弦定理直接求解即可．

解答 解：本題求解三角形外接圓的面積最小值，即求外接圓的半徑最小值．又因為AB的長度為定值，所以僅需求∠AMB正弦的最大值即可，即求∠AMB余弦的最小值，因此可以使用余弦定理直接求解即可．
設MA=x，MB=y，利用平行四邊形對角線的平方和等于四條邊的平方和，可得x²+y²=40，
∴x²+y²=40≥2xy，∴xy≤20
∴cos∠AMB=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}-16}{2xy}$=$\frac{12}{xy}$≥$\frac{3}{5}$
∴sin∠AMB≤$\frac{4}{5}$，
再由正弦定理，得：2R=$\frac{AB}{sin∠AMB}$≥5，
∴R≥$\frac{5}{2}$，
∴△ABM的外接圓的面積的最小值為$\frac{25π}{4}$．
故答案為：$\frac{25π}{4}$．

點評 本題考查的是直線與圓的位置關系，考查正弦、余弦定理，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．