Question

如圖，△ABC內(nèi)接于直徑為F₁，F(xiàn)₂的圓P，過點(diǎn)A作圓O的切線交CB的延長線于點(diǎn)P，∠BAC的平分線分別交BC和圓O于點(diǎn)D、E，若PA=2PB=10
（1）求證：AC=2AB；
（2）求AD•DE的值．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段,相似三角形的判定

專題：直線與圓,推理和證明

分析：（1）由弦切角定理推導(dǎo)出△ABP∽△CAP，由此能證明AC=2AB．
（2）由切割線定理得：PA²=PB•PC，從而PC=20，BC=15，由AD是∠BAC的平分線，得CD=10，DB=5，再由相交弦定理得：AD•DE=CD•DB=50．

解答： （1）證明：∵PA是圓O的切線，∴∠PAB=∠ACB，又∠P是公共角
∴△ABP∽△CAP，…（2分）
∴

AC

AB

=

AP

PB

=2，∴AC=2AB．…（4分）
（2）解：由切割線定理得：PA²=PB•PC，
∴PC=20，又PB=5，∴BC=15，…（6分）
又∵AD是∠BAC的平分線，
∴

AC

AB

=

CD

DB

=2，
∴CD=2DB，∴CD=10，DB=5…（8分）
又由相交弦定理得：AD•DE=CD•DB=50．…（10分）

點(diǎn)評：本題考查一線段長是另一線段長的2倍的證明，考查兩線段乘積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意弦切角定理、切割線定理、相交弦定理的合理運(yùn)用．