Question

2014年10月20日，國務(wù)院發(fā)布《關(guān)于加快發(fā)展體育產(chǎn)業(yè)促進(jìn)體育消費(fèi)的若干意見》，要求切實(shí)保障中小學(xué)體育課課時(shí)，鼓勵(lì)實(shí)施課外體育活動(dòng)計(jì)劃，培養(yǎng)青少年體育愛好．某校為此在周一安排籃球、周三安排排球、周五安排足球，共三次集體活動(dòng)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)，某班每名學(xué)生參加這三次活動(dòng)的概率分別為

3

4

、

1

3

、

1

2

，并且報(bào)名參加三次活動(dòng)之間互不影響．
（1）現(xiàn)有該班甲、乙、丙、丁4名學(xué)生，求這4名學(xué)生中至少有3名報(bào)名參加籃球活動(dòng)的概率；
（2）若用X表示該班學(xué)生甲報(bào)名參加集體活動(dòng)的次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）設(shè)A表示“某名同學(xué)報(bào)名參加籃球活動(dòng)”，則P（A）=

3

4

，這4名學(xué)生中報(bào)名參加籃球活動(dòng)的人數(shù)ξ～B（4，

3

4

），由此能求出這4名學(xué)生中至少有3名報(bào)名參加籃球活動(dòng)的概率．
（2）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）設(shè)A表示“某名同學(xué)報(bào)名參加籃球活動(dòng)”，則P（A）=

3

4

，
∴這4名學(xué)生中報(bào)名參加籃球活動(dòng)的人數(shù)ξ～B（4，

3

4

），
∴這4名學(xué)生中至少有3名報(bào)名參加籃球活動(dòng)的概率：
P=P（ξ=4）+P（ξ=3）
=

C

4 4

(

3

4

)4+

C

3 4

(

3

4

)3•(

1

4

)
=

189

256

．
（2）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=（1-

3

4

）（1-

1

3

）（1-

1

2

）=

1

12

，
P（X=1）=

3

4

×(1-

1

3

)×(1-

1

2

)+（1-

3

4

）×

1

3

×(1-

1

2

)+（1-

3

4

）（1-

1

3

）×

1

2

=

3

8

，
P（X=2）=

3

4

×

1

3

×(1-

1

2

)+

3

4

×(1-

1

3

)×

1

2

+(1-

3

4

)×

1

3

×

1

2

=

5

12

，
P（X=3）=

3

4

×

1

3

×

1

2

=

1

8

，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	1 12	3 8	5 12	1 8

EX=0×

1

12

+1×

3

8

+2×

5

12

+3×

1

8

=

19

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．