Question

已知函數(shù)f（x）=3^x，且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x的定義域?yàn)閰^(qū)間[0，1]．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求g（x）的單調(diào)區(qū)間，確定其增減性并試用定義證明；
（3）求g（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（a+2）=18可得3^a+2=18，求得3^a=2，可得g（x）的解析式，
（2）轉(zhuǎn)化設(shè)t=2^x，1≤t≤2，則y=k（t）=t-t²，1≤t≤2，對(duì)稱軸t=

1

2

，寫出單調(diào)區(qū)間，運(yùn)用定義證明．
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求解即可得出值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=3^x，f（a+2）=18，∴3^a+2=18，得3^a=2，
∴g（x）=2^x-4^x，x∈[0，1]．
（2）∵g（x）=2^x-4^x =2^x-（2^x）²，x∈[0，1]，
設(shè)t=2^x，1≤t≤2，則y=k（t）=t-t²，1≤t≤2，對(duì)稱軸t=

1

2

，
∴t∈[1，2]單調(diào)遞減，
∵t=2^x為[0，1]上的增函數(shù)，
∴g（x）在[0，1]上為減函數(shù)，
證明：∵設(shè)0≤x₁＜x₂≤1，1≤t₁＜t₂≤2，t₁-t₂＜0，1-t₁-t₂＜0
∴g（x₁）-g（x₂）=k（t₁）-k（t₂）=（t₁-t₂）（1-t₁-t₂）＞0，
即k（t₁）＞k（t₂），
g（x₁）＞g（x₂），
∴g（x）在[0，1]上為減函數(shù)，
（3）∵g（x）=2^x-4^x，x∈[0，1]上為減函數(shù)，
∴g（0）=0，g（1）=-2，
∴g（x）的值域：[-2，0]

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考察了函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用求解最大值，最小值，難度不大，容易出錯(cuò)，做題要認(rèn)真仔細(xì)．