Question

（1）若

C

1 n

，

C

2 n

，

C

3 n

成等差，求n的值；
（2）求證：

C k n

n

=

C k-1 n-1

k

(其中n≥k≥2，k∈N)；
（3）數(shù)列{x_n}是首項(xiàng)為x₁，公比為q的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，化簡下列式子：Tn=S1

C

1 n

+S2

C

2 n

+…+Sn

C

n n

．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,數(shù)列的求和,組合及組合數(shù)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,排列組合,二項(xiàng)式定理

分析：（1）利用等差數(shù)列的中項(xiàng)，結(jié)合組合數(shù)公式，進(jìn)行化簡即可；
（2）利用組合數(shù)公式，進(jìn)行化簡證明即可；
（3）討論當(dāng)q=1時(shí)，和q≠1時(shí)，求出等比數(shù)列的S_n，再分別進(jìn)行計(jì)算與化簡．

解答： 解：（1）∵

C

1 n

，

C

2 n

，

C

3 n

成等差，
∴2

C

2 n

=

C

1 n

+

C

3 n

，
即

2n(n-1)

2×1

=n+

n(n-1)(n-2)

3×2×1

，
解得n=7或n=2（舍），
∴n=7；
（2）證明：∵n≥k≥2，
∴

C k n

n

=

n(n-1)(n-2)…(n-k+1)

n×k×(k-1)×…×3×2×1

=

C k-1 n-1

k

，
∴

C k n

n

=

C k-1 n-1

k

（其中n≥k≥2，k∈N）；
（3）∵數(shù)列{x_n}是首項(xiàng)為x₁，公比為q的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，
∴①當(dāng)q=1時(shí)，S_n=nx₁，
∴S_k•

C

k n

=kx₁•

C

k n

=x₁•k•

n!

k!•(n-k)!

=nx₁•

(n-1)!

(k-1)!•(n-k)!

=nx₁•

C

k-1 n-1

，
∴S₁C_n¹+S₂C_n²+S₃C_n³+S₄C_n⁴+…+S_nC_nⁿ
=na₁（C_n-1⁰+C_n-1¹+C_n-1²+…+C_n-1^n-1）=na₁2^n-1；
②當(dāng)q≠1時(shí)，S_n=

x1(1-qn)

1-q

，
∴S_k•

C

k n

=

x1(1-qk)

1-q

•

C

k n

=

x1

1-q

•

C

k n

-

x1

1-q

C

k n

q^k
∴S₁C_n¹+S₂C_n²+S₃C_n³+S₄C_n⁴+…+S_nC_nⁿ
=

x1

1-q

（

C

1 n

+

C

2 n

+

C

3 n

+…+

C

n n

）-

x1

1-q

（

C

1 n

•q+

C

2 n

•q²+

C

3 n

•q³+…+

C

n n

•qⁿ）
=

x1

1-q

•（2ⁿ-1）-

x1

1-q

•[（1+q）ⁿ-1]
=

x1

1-q

[2ⁿ-（1+q）ⁿ]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了組合及組合數(shù)公式的應(yīng)用問題，也考查了等差與等比數(shù)列的性質(zhì)與前n項(xiàng)和等知識(shí)的應(yīng)用問題，是難題．