Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)F為拋物線C：（）的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的動(dòng)直線l與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，且當(dāng)直線l的傾斜角為45°時(shí)，.

（1）求拋物線C的方程.

（2）試確定在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得直線PM，PN關(guān)于x軸對(duì)稱？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在唯一的點(diǎn)，使直線PM，PN關(guān)于x軸對(duì)稱

【解析】

（1）當(dāng)直線l的傾斜角為45°，則的斜率為1，則直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理可得，根據(jù)焦點(diǎn)弦公式，求出的值，即可得到拋物線方程.

（2）假設(shè)滿足條件的點(diǎn)P存在，設(shè)，當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)，設(shè)l的方程為（），聯(lián)立直線與拋物線方程，消元，列出韋達(dá)定理，因?yàn)橹本�PM，PN關(guān)于x軸對(duì)稱，所以，即可求出的值. 當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，由拋物線的對(duì)稱性，易知PM，PN關(guān)于x軸對(duì)稱，此時(shí)只需P與焦點(diǎn)F不重合即可.

解：（1）當(dāng)直線l的傾斜角為45°，則的斜率為1，

，的方程為.

由得.

設(shè)，，則，

∴，，

∴拋物線C的方程為.

（2）假設(shè)滿足條件的點(diǎn)P存在，設(shè)，由（1）知，

①當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)，設(shè)l的方程為（），

由得，

，

，.

∵直線PM，PN關(guān)于x軸對(duì)稱，

∴，，.

∴，

∴時(shí)，此時(shí).

②當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，由拋物線的對(duì)稱性，

易知PM，PN關(guān)于x軸對(duì)稱，此時(shí)只需P與焦點(diǎn)F不重合即可.

綜上，存在唯一的點(diǎn)，使直線PM，PN關(guān)于x軸對(duì)稱.