Question

已知函數(shù)f（x）=sin2x+acos²x（a∈R，a為常數(shù)），且是函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)．
（1）求a的值，并求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，]，求函數(shù)f（x）的值域，并寫(xiě)出f（x）取得最大值時(shí)x的值．

Answer 1

解：（1）由于是函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)，即x=是方程f（x）=0的解，
從而f（）=sin+acos²=0，
則1+a=0，解得a=-2．
所以f（x）=sin2x-2cos²x=sin2x-cos2x-1，
則f（x）=sin（2x-）-1，
所以函數(shù)f（x）的最小正周期為π．

（2）由x∈[0，]，得2x-∈[-，]，
則sin（2x-）∈[-，1]，
則-1≤sin（2x-）≤，
-2≤sin（2x-）-1≤-1，
∴值域?yàn)閇-2，-1]．
當(dāng)2x-=2kπ+（k∈Z），
即x=kπ+π時(shí)，
f（x）有最大值，又x∈[0，]，
故k=0時(shí)，x=π，
f（x）有最大值-1．
分析：（1）由是函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)得到x=是方程f（x）=0的解，即f（）=0，代入f（x）中即可求出a的值，然后把求出a的值代入
f（x）中，然后利用二倍角的余弦函數(shù)公式及兩角差的正弦函數(shù)公式和特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)T求出最小正周期即可；
（2）根據(jù)x的范圍求出2x-的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象求出sin（2x-）的值域即可得到f（x）的值域，當(dāng)f（x）有最大值時(shí)，2x-=2kπ+解出x的范圍，因?yàn)閤為銳角得到k=0，即可求出x的值．
點(diǎn)評(píng)：此題既考查學(xué)生掌握函數(shù)零點(diǎn)的意義及三角函數(shù)周期的求法，又考查學(xué)生會(huì)求正弦函數(shù)的在某一范圍內(nèi)的最值以及會(huì)求正弦函數(shù)的值域．是一道綜合題．