Question

已知函數(shù)f(x)=cos2(x+

π

3

)-

1

2

，g(x)=

1

2

sin(2x+

2π

3

)
（1）要得到y(tǒng)=f（x）的圖象，只需把y=g（x）的圖象經(jīng)過怎樣的變換？
（2）設(shè)h（x）=f（x）-g（x），求①函數(shù)h（x）的最大值及對應(yīng)的x的值；②函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：先對函數(shù)的解析式用余弦的二倍角公式化簡，可變?yōu)?span id="m8s88qc" class="MathJye">f(x)=

1

2

cos(2x+

2π

3

)
（1）觀察兩個(gè)函數(shù)的解析式，易得將y=g（x）的圖象向左平移

π

4

個(gè)單位得到y(tǒng)=f（x）的圖象；
（2）先求出h（x）=f（x）-g（x）的解析式，化簡得h（x）=

2?

2

cos(2x+

11π

12

)
①由余弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)h（x）的最大值及對應(yīng)的x的值
②由余弦函數(shù)的性質(zhì)令2kπ-π≤2x+

11π

12

≤2kπ，解出x的取值范圍即可得到函數(shù)的增區(qū)間．

解答：解：f(x)=

1+cos(2x+ 2π 3 )

2

-

1

2

=

1

2

cos(2x+

2π

3

)
（1）∵f(x)=

1

2

cos(2x+

2π

3

)=

1

2

sin[2(x+

π

4

)+

2π

3

]
∴將y=g（x）的圖象向左平移

π

4

個(gè)單位得到y(tǒng)=f（x）的圖象．
（2）h(x)=f(x)-g(x)=

1

2

cos(2x+

2π

3

)-

1

2

sin(2x+

2π

3

)
=

2?

2

cos(2x+

2π

3

+

π

4

)=

2?

2

cos(2x+

11π

12

)
①∴h(x)max=

2

2

．當(dāng)2x+

11π

12

=2kπ即x=kπ-

11π

24

(k∈Z)時(shí)取最大值．
②由2kπ-π≤2x+

11π

12

≤2kπ，∴kπ-

23π

24

≤x≤kπ-

11π

24

，
所以遞增區(qū)間為[kπ-

23π

24

，kπ-

11π

24

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，解答本題關(guān)鍵是掌握三角恒等變換公式對三角函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡，然后再由余弦函數(shù)的性質(zhì)求打三角函數(shù)的最值及求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．