Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax（其中a是實數(shù)），且f′（1）=3．
（1）求a的值及曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導函數(shù)，利用f′（1）=3，確定a的值，從而可得切點坐標，即可求得切線的方程；
（2）求導函數(shù)，確定函數(shù)的單調性，即可求得函數(shù)在區(qū)間[0，2]上的最大值．

解答： 解：（1）由于函數(shù)f（x）=x³-ax，則可得f′（x）=3x²-a，
∵f′（1）=3，∴3-a=3，∴a=0
又當a=0時，f（x）=x³，∴f（1）=1，
所以，曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y-1=3（x-1），即y=3x-2．
（2）由于f′（x）=3x²≥0，
則f（x）在（0，2）上f′（x）＞0，即f（x）在[0，2]上為增函數(shù)，
∴f（x）_max=f（2）=8．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查切線方程，考查函數(shù)的最值，屬于基礎題．