Question

在一次數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)中，老師給了下列三個(gè)等式：
①sin²5°+sin²65°+sin²125°=a；
②sin²10°+sin²70°+sin²130°=a；
③sin²（-70°）+sin²（-10°）+sin²50°=a．
（1）請(qǐng)你根據(jù)以上所給的等式寫出一個(gè)具有一般性的等式，并求出實(shí)數(shù)a的值；
（2）證明你寫的等式．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理

專題：綜合題,推理和證明

分析：分析已知條件中：sin²5°+sin²65°+sin²125°=

3

2

，我們可以發(fā)現(xiàn)等式左邊參加累加的三個(gè)均為正弦的平方，且三個(gè)角組成一個(gè)以60°為公差的等差數(shù)列，右邊是常數(shù)，由此不難得到結(jié)論．

解答： 解：由已知中sin²5°+sin²65°+sin²125°=

3

2

．
歸納推理的一般性的命題為：sin²（α-60°）+sin²α+sin²（α+60°）=

3

2

．
證明如下：
左邊=

1-cos(2α-120°)

2

+

1-cos2α

2

+

1-cos(2α+120°)

2

=

3

2

-

1

2

[cos（2α-120°）+cos2α+cos（2α+120°）]
=

3

2

=右邊．
∴結(jié)論正確．

點(diǎn)評(píng)：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想），（3）論證．