如圖所示，在直角梯形OABC中，∠COA=∠OAB=
π2
，OA=OS=AB=1，OC=2，點(diǎn)M是棱SB的中點(diǎn)，N是OC上的點(diǎn)，且ON：NC=1：3．
（1）求異面直線MN與BC所成的角；
（2）求MN與面SAB所成的角．
分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再求相關(guān)向量的坐標(biāo)，最后用向量夾角公式求解．
（2）欲求MN與面SAB所成的角的正弦值，先利用待定系數(shù)法求出平面SAB的一個(gè)法向量，最后用向量夾角公式求解即可
解答：解：（1）以O(shè)C，OA，OS所在直線建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則S（0，0，1），C（2，0，0），A（0，1，0），B（1，1，0），所以N（
1
2
，0，0），M（
1
2
，
1
2
，
1
2
）
∴
MN
=（0，-
1
2
，-
1
2
），
BC
=（1，-1，0）
∴直線MN與BC所成角的余弦值為
MN
•
BC
|
BC
||
MN
|
=
1
2

∴直線MN與BC所成角為
π
3
；
（2）設(shè)平面SAB的一個(gè)法向量為
n
=（a，b，c）
n
•
SB
=（a，b，c）•（1，1，-1）=a+b-c=0
n
•
SA
=（a，b，c）•（0，1，-1）=b-c=0
令b=1可得法向量
n
=（0，1，1）
∵
MN
=（0，-
1
2
，-
1
2
），
∴直線MN與面SAB所成角的正弦值為|
MN
•
n
|
MN
||
n
|
|=
1
2

∴直線MN與面SAB所成角為
π
6
點(diǎn)評：本題考查用向量法研究直線與平面所成的角和異面直線所成的角，選用向量法，避開了作輔助線，優(yōu)越性很強(qiáng)，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在直角梯形ABCD中，|AD|=3，|AB|=4，|BC|=
3
，曲線段DE上任一點(diǎn)到A、B兩點(diǎn)的距離之和都相等．
（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求曲線段DE的方程；
（2）過C能否作一條直線與曲線段DE相交，且所得弦以C為中點(diǎn)，如果能，求該弦所在的直線的方程；若不能，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=
12
AP=2，D是AP的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別為PC，PD，CB的中點(diǎn)，將△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD．
（1）求證：AP∥平面EFG；
（2）求二面角G-EF-D的大�。�
精英家教網(wǎng)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AB⊥AP，AB=BC=3，AP=7，CD⊥AP，現(xiàn)將△PCD沿折線CD折成直二面角P-CD-A，設(shè)E，F(xiàn)分別是PD，BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PAB；
（Ⅱ）求直線BE與平面PAB所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•藍(lán)山縣模擬）如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠C=45°，AB=2，AD=1，E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是DC上的點(diǎn)，且EF∥AD，現(xiàn)以EF為折痕將四邊形AEFD向上折起，使平面AEFD垂直平面EBCF，連AC，DC，BA，BD，BF，

（1）求證：CB⊥平面DFB；
（2）求二面角B-AC-D的余弦值．

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