Question

如圖所示，在直角梯形ABCD中，|AD|=3，|AB|=4，|BC|=

3

，曲線段DE上任一點到A、B兩點的距離之和都相等．
（1）建立適當的直角坐標系，求曲線段DE的方程；
（2）過C能否作一條直線與曲線段DE相交，且所得弦以C為中點，如果能，求該弦所在的直線的方程；若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（！）由題意，先建立平面直角坐標系，利用曲線的方程這一概念求其動點的軌跡方程，要注意求解方程之后要有題意去排雜；
（2）對于（2）這種是否C能否，往往要利用假設的思想，設出變量，存在建立方程求解，不存在會產生矛盾及可求解．

解答：解：（1）以直線AB為x軸，線段AB的中點為原點建立直角坐標系，
則A（-2，0），B（2，0），C（2，

3

），D（-2，3）．
依題意，曲線段DE是以A、B為焦點的橢圓的一部分．
∵a=

1

2

(|AD|+|BD|)=4，c=2，b2=12，
∴所求方程為

x2

16

+

y2

12

=1(-2≤x≤4，0≤y≤2

3

)．

（2）設這樣的弦存在，其方程y-

3

=k（x-2），即y=k（x-2）+

3

，將其代入

x2

16

+

y2

12

=1
得(3+4k2)x2+(8

3

k-16k2)x+16k2-16

3

k-36=0
設弦的端點為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則由

x1+x2

2

=2，知x₁+x₂=4，∴-

8 3 k-16k2

3+4k2

=4，解得k=-

3

2

．
∴弦MN所在直線方程為y=-

3

2

x+2

3

，驗證得知，這時M(0，2

3

)，N(4，0)適合條件．
故這樣的直線存在，其方程為y=-

3

2

x+2

3

．

點評：（1）重點考查了利用曲線的方程這一概念，先建立平面直角坐標系，然后利用定義法求其動點的軌跡方程，并進行實際問題的排雜；
（2）重點考查了假設存在，建立方程求解或找矛盾的這一常用方法，還考查了直線方程與曲線方程產生交點要聯立，用設而不求整體代換的思想求解．