Question

【題目】在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AA1=3，點D為BC的中點；
（Ⅰ）求證：A1B∥平面AC1D；
（Ⅱ）若點E為A1C上的點，且滿足 =m （m∈R），若二面角E﹣AD﹣C的余弦值為 ，求實數(shù)m的值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）連結A1C∩AC1于F，則F為AC1的中點，
連結DF，則A1B∥DF，
∵DF平面AC1D，∴A1B∥平面AC1D．

解：（Ⅱ）過E作EM⊥AC于M，則EM⊥平面ABC，過M作MN⊥AD，垂足為N，連結EN，
則EN⊥AD，∴∠ENM為二面角E﹣AD﹣C的一個平面角，
設EM=h，則 = ，∴CM= ，∴AM=2﹣ ，
∵ ，∴MN= ，
∴EN2=EM2+MN2=h2+（1﹣ ）2 ，
∵cos ，故 = ，解得h= ，
此時，點E為A1C的中點，∴m=1．

【解析】（Ⅰ）連結A1C∩AC1于F，則F為AC1的中點，連結DF，則A1B∥DF，由此能證明A1B∥平面AC1D．（Ⅱ）過E作EM⊥AC于M，則EM⊥平面ABC，過M作MN⊥AD，垂足為N，連結EN，則∠ENM為二面角E﹣AD﹣C的一個平面角，由此利用二面角E﹣AD﹣C的余弦值為 ，能求出m的值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行)．