Question

4．設(shè)不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{y＜0}\\{y≥-nx-3n}\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域為D_n，記D_n內(nèi)的格點（格點即橫坐標和縱坐標均為整數(shù)的點）個數(shù)為f（n）（n∈N^*）．
（1）求f（1），f（2）的值及f（n）的表達式；
（2）記數(shù)列{f（n）}的前n項和為S_n，若S_n＞λn對任意正整數(shù)n恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（1）=3，f（2）=6．當x=-1時，y取值為-1，-2，…，-2n，當x=-2時，y取值為-1，-2，…，-n，即可得出格點的個數(shù)．
（2）由等差數(shù)列的前n項和公式可得：S_n=$\frac{n（3+3n）}{2}$，S_n＞λn對任意正整數(shù)n恒成立，化為λ＜$\frac{3+3n}{2}$，利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）f（1）=3，f（2）=6．
當x=-1時，y取值為-1，-2，-3，…，-2n，共有2n個格點．
當x=-2時，y取值為-1，-2，-3，…，-n，共有n個格點．
∴f（n）=n+2n=3n．
（2）由（1）可得：S_n=$\frac{n（3+3n）}{2}$，
∵S_n＞λn對任意正整數(shù)n恒成立，
∴$\frac{n（3+3n）}{2}$＞λn，化為λ＜$\frac{3+3n}{2}$，
∴λ＜3．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，線性規(guī)劃問題、不等式的性質(zhì)、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化問題，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．