Question

8．若不等式$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$+1＞m（a+b）對(duì)任意正數(shù)a，b恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，$\frac{1}{2}$）
• B． （-∞，1）
• C． （-∞，2）
• D． （-∞，3）

Answer 1

分析 不等式$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$+1＞m（a+b）對(duì)任意正數(shù)a，b恒成立，可得m＜$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}+2}{2（a+b）}$，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵不等式$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$+1＞m（a+b）對(duì)任意正數(shù)a，b恒成立，
∴m＜$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}+2}{2（a+b）}$，
∵$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}+2}{2（a+b）}$≥$\frac{\frac{{（a+b）}^{2}}{2}+2}{2（a+b）}$=$\frac{a+b}{4}$+$\frac{1}{a+b}$≥2$\sqrt{\frac{a+b}{4}•\frac{1}{a+b}}$=1．當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取等號(hào)．
∴m＜1，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．