Question

如圖，在棱長為a的正方體ABCD-

A

1

B1C1D1的面ABB₁A₁所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足P到棱

A

1

B1所在直線的距離等于P到棱CC₁所在直線的距離，延長棱B₁B至點(diǎn)E，使得|B1E|=

2

|B1B|，過點(diǎn)E作平行于

A

1

B1的直線l交動點(diǎn)P的軌跡Γ于點(diǎn)M，N，在分別過M，N做軌跡Γ的切線交于點(diǎn)Q，則△MQN的面積為（　�。�

• A．

  2

  3

  a2
• B．

  2

  3

  a2
• C．

  3

  2

  a2
• D．

  2

  2

  a2

Answer 1

分析：根據(jù)題意求出點(diǎn)P的軌跡為雙曲線，在平面ABB₁內(nèi)運(yùn)用圓錐曲線知識求出M、N、Q三點(diǎn)的坐標(biāo)，則三角形MNQ的底邊和高可求，從而求出面積．

解答：解：如圖，以AB所在直線為x軸，BB₁所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)P（x，y），由題意可得，x²+a²=（a-y）²（y≤0），
所以P點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支，
因?yàn)?span id="dvfgvwm" class="MathJye">|B1E|=

2

|B1B|=

2

a，所以E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為a-

2

a，
代入雙曲線方程得：M（-a，a-

2

a），N（a，a-

2

a）．
設(shè)過M點(diǎn)的曲線的切線的斜率為k，則：切線方程為y=a-

2

a+k(x+a)，
與雙曲線方程聯(lián)立得：(k2-1)x2+2k(ak-

2

a)x+a2k2-2

2

a2k+a2=0
由△=4k2(ak-

2

a)2-4(k2-1)(a2k2-2

2

a2k+a2)=8a2k2-8

2

a2k+4a2=0
得：2k2-2

2

k+1=0，所以k=

2

2

，
把k=

2

2

代入切線方程并取x=0得：y=a-

2

2

a，即Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為a-

2

2

a，
所以三角形MNQ的高為

2

2

a，
所以S△MNQ=

1

2

×2a×

2

2

a=

2

2

a2．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和方程思想，考查了圓錐曲線知識，訓(xùn)練了學(xué)生的運(yùn)算能力，正確得到點(diǎn)P的軌跡是該題的難點(diǎn)，此題有一定難度．