Question

已知函數(shù)f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2013

2013

，設F（x）=f（x+4），且函數(shù)F（x）的零點均在區(qū)間[a，b]（a＜b，a，b∈Z）內，圓x²+y²=b-a的面積的最小值是（　�。�

A．π

B．2π

C．3π

D．4π

Answer 1

分析：利用導數(shù)研究函數(shù)f（x）的單調性，得函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)．再用零點存在性定理，得f（x）在R上有唯一零點x₀∈（-1，0），結合函數(shù)圖象的平移知識可得數(shù)F（x）的零點必在區(qū)間（-5，-4）．由此不難得到b-a的最小值，進而得到所求圓面積的最小值．

解答：解：∵f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2013

2013

，
∴當x＜-1或x＞-1時，f'（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹²=

1+x2013

1+x

＞0．
而當x=-1時，f'（x）=2013＞0
∴f'（x）＞0對任意x∈R恒成立，得函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)
∵f（-1）=（1-1）+（-

1

2

-

1

3

）+…+（-

1

2012

-

1

2013

）＜0，f（0）=1＞0
∴函數(shù)f（x）在R上有唯一零點x₀∈（-1，0）
∵F（x）=f（x+4），得函數(shù)F（x）的零點是x₀-4∈（-5，-4）
∴a≤-5且b≥-4，得b-a的最小值為-4-（-5）=1
∵圓x²+y²=b-a的圓心為原點，半徑r=

b-a

∴圓x²+y²=b-a的面積為πr²=π（b-a）≤π，可得面積的最小值為π
故選：A

點評：本題給出關于x的多項式函數(shù)，求函數(shù)零點所在的區(qū)間長度的最小值．著重考查了函數(shù)的零點、圓的標準方程和利用導數(shù)研究函數(shù)的性質等知識點，屬于中檔題．