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10.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=2an-2n,n∈N*
(1)求證:數(shù)列{an+2}為等比數(shù)列;
(2)設(shè)bn=log12an+2,且數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,求1T3+1T6++1T3n

分析 (1)由Sn=2an-2n,推出an=2an-1+2,然后證明{an+2}是以4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.
(2)求出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,然后利用裂項(xiàng)消項(xiàng)法求解數(shù)列的和即可.

解答 (1)證明:由Sn=2an-2n有Sn-1=2an-1-2(n-1),相減得an=2an-2an-1-2
∴an=2an-1+2即an+2=2(an-1+2)…(2分)   
又S1=2a1-2,解得a1=2…(3分)
故{an+2}是以4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列…(4分)
(2)由(1)得an+2=42n1=2n+1,bn=log122n+1=n1,…(6分)
Tn=n2n12=nn+32,…(8分)     
1T3n=23n3n+3=291n1n+1…(10分)1T3+1T6++1T3n=29112+1213++1n1n+1=2911n+1=2n9n+1…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列求和,裂項(xiàng)消項(xiàng)法的應(yīng)用,等比數(shù)列的證明,考查計(jì)算能力.

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