4．若實(shí)數(shù)a滿足x+lgx=2，實(shí)數(shù)b滿足x+10x=2，函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{ln（x+1）+\frac{a+b}{2}，x≤0}\\{{x^2}-2，x＞0}\end{array}}$，則關(guān)于x的方程f（x）=x解的個(gè)數(shù)為（　�。�
A．1B．2C．3D．4

分析 先根據(jù)a滿足x+lgx=2，b滿足x+10x=2，可得a+b=2，進(jìn)而可分類(lèi)求出關(guān)于x的方程f（x）=x的解，從而確定關(guān)于x的方程f（x）=x的解的個(gè)數(shù)．

解答 解：由a滿足x+lgx=2，b滿足x+10x=2，
則4-x=lgx，2-x=10x，
設(shè)f（x）=2-x，g（x）=lgx，h（x）=10x，
則g（x）與h（x）互為反函數(shù)，圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，
則由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=2-x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
即（a，g（a）），（b，h（b））關(guān)于點(diǎn)（1，1）對(duì)稱，
則$\frac{a+b}{2}$=2，即a+b=2，
則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln（x+1）+1，}&{x≤0}\\{{x}^{2}-2，}&{x＞0}\end{array}\right.$，
作出函數(shù)f（x）和y=x的圖象，由圖象知兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
即方程f（x）=x解的個(gè)數(shù)為2個(gè)，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系，利用反函數(shù)的性質(zhì)求出a+b=2，以及作出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

14．在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．已知曲線C1：（x-3）2+（y-2）2=1，曲線C2：$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），曲線C3：ρ（cosθ-2sinθ）=7．
（1）以t為參數(shù)將C1的方程寫(xiě)成含t的參數(shù)方程，化C2的方程為普通方程，化C3的方程為直角坐標(biāo)方程；
（2）若Q為C2上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)Q到曲線C3的距離的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

15．已知函數(shù)f（x）=ax4•lnx+bx4-c在x=1處取得極值-3-c．
（1）試求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對(duì)任意x＞0，不等式f（x）≥-2c2恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

12．設(shè)函數(shù)f（x）=x3-3ax+b（a＞0）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處與直線y=8相切，求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax2-（a+1）x+lnx，a∈R．
（1）若0＜a＜1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a=0，且f（x1）=f（x2），x1＞x2，求證：x1•x2＜1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{|x|}$，關(guān)于x的方程f2（x）-2af（x）+a-1=0（a∈R）有3個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（　�。�
A．（$\frac{{e}^{2}-1}{2e-1}$，+∞）B．（-∞，$\frac{{e}^{2}-1}{2e-1}$）C．（0，$\frac{{e}^{2}-1}{2e-1}$）D．{$\frac{{e}^{2}-1}{2e-1}$}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

16．已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為θ=$\frac{π}{6}$（ρ∈R）．
（Ⅰ）求曲線C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求直線l被曲線C截得的線段長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

13．設(shè)函數(shù)f（x）=ex-e2x，則f（x）的最小值為-e2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

2．已知函數(shù)f（x）=ax3+x2-ax（a∈R且a≠0）．
（1）若函數(shù)f（x）在（-∞，-1）和（$\frac{1}{3}，-∞$）上是增函數(shù)，在（-1，$\frac{1}{3}$）上是減函數(shù)，求a的值；
（2）討論函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}-\frac{3}{a}$lnx的單調(diào)遞減區(qū)間．

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