Question

14．在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．已知曲線C₁：（x-3）²+（y-2）²=1，曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），曲線C₃：ρ（cosθ-2sinθ）=7．
（1）以t為參數(shù)將C₁的方程寫成含t的參數(shù)方程，化C₂的方程為普通方程，化C₃的方程為直角坐標方程；
（2）若Q為C₂上的動點，求點Q到曲線C₃的距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）由曲線C₁：（x-3）²+（y-2）²=1，利用cos²t+sin²t=1可得參數(shù)方程．由曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用平方關系消去參數(shù)θ，可得普通方程．由曲線C₃：ρ（cosθ-2sinθ）=7，利用y=ρsinθ，x=ρcosθ即可化為直角坐標方程．
（2）設Q（4cosθ，3sinθ），Q到曲線C₃的距離為d=$\frac{|4cosθ-6sinθ-7|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|2\sqrt{13}sin（θ-φ）-7|}{\sqrt{5}}$（其中tanφ=$\frac{2}{3}$）．利用三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出．

解答 解：（1）由曲線C₁：（x-3）²+（y-2）²=1，可得參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+cost}\\{y=2+sint}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)）．
由曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），消去參數(shù)θ，可得普通方程：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
由曲線C₃：ρ（cosθ-2sinθ）=7，可化為直角坐標方程：x-2y-7=0．
（2）設Q（4cosθ，3sinθ），Q到曲線C₃的距離為
d=$\frac{|4cosθ-6sinθ-7|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|2\sqrt{13}sin（θ-φ）-7|}{\sqrt{5}}$（其中tanφ=$\frac{2}{3}$）．
∵θ∈[0，2π），∴當sin（θ-φ）=-1時取得最大值，
∴d的最大值為$\frac{2\sqrt{65}+7\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、三角函數(shù)求值、和差公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．