Question

9．如圖1，在路邊安裝路燈，路寬為OD，燈柱OB長為h米，燈桿AB長為1米，且燈桿與燈柱成120°角，路燈采用圓錐形燈罩，其軸截面的頂角為2θ，燈罩軸線AC與燈桿AB垂直．
（1）設(shè)燈罩軸線與路面的交點為C，若OC=5$\sqrt{3}$米，求燈柱OB長；
（2）設(shè)h=10米，若燈罩軸截面的兩條母線所在直線一條恰好經(jīng)過點O，另一條與地面的交點為E（如圖2）；
（i）求cosθ的值；
（ii）求該路燈照在路面上的寬度OE的長；

Answer 1

分析 （1）作AE⊥OD，BF⊥AE，求出AF，BF，得出CE的長，根據(jù)tan∠ACE=$\frac{AE}{CE}$求出AE，從而得出OB的長；
（2）（i）在△AOB中，利用正弦定理求出sin∠BAO即可得出cosθ；
（ii）利用差角公式計算sin∠AEO，在△AOE中，利用正弦定理計算OE．

解答 解：（1）過A作AE⊥OD，垂足為E，過B作BF⊥AE，垂足為F，
則∠ABF=120°-90°=30°，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$，BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OE=BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴CE=OC-OE=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．
在四邊形ABOC中，∵∠BOC=∠BAC=90°，∠ABO=120°，
∴∠ACO=60°，
在Rt△ACE中，tan∠ACE=$\frac{AE}{CE}$=$\sqrt{3}$，
∴AE=$\sqrt{3}$CE=$\frac{27}{2}$，
∴OB=EF=AE-AF=13．
即燈柱OB高13米．
（2）（i）在△ABO中，由余弦定理得OA=$\sqrt{1+100-2×1×10×cos120°}$=$\sqrt{111}$，
由正弦定理得$\frac{OA}{sin120°}$=$\frac{OB}{sin∠BAO}$，∴sin∠BAO=$\frac{10×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{111}}$=$\frac{5\sqrt{37}}{37}$．
∴cosθ=sin∠BAO=$\frac{5\sqrt{37}}{37}$．
（ii）sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{37}}$，sin2θ=2sinθcosθ=$\frac{20\sqrt{3}}{37}$，
∴sin∠AEO=sin（60°-θ）=$\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{5\sqrt{37}}{37}$-$\frac{1}{2}•\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{37}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{37}}$．
在△AOE中，由正弦定理得$\frac{OE}{sin2θ}$=$\frac{OA}{sin∠AEO}$，
解得OE=$\frac{OA•sin2θ}{sin∠AEO}$=$\frac{40\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了解三角形的實際應(yīng)用，正余弦定理解三角形，屬于中檔題．