Question

17．已知函數(shù)f（x）滿足f（log₃x）=x-log₃（x²）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)n∈N^*時(shí)，試比較f（n）與n³的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）令log₃x=t，使用換元法求出f（x）的解析式；
（2）計(jì)算f（1），f（2），f（3），f（4），得出f（n）與n³的大小關(guān)系，使用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答 解：（1）令t=log₃x，則x=3^t，
所以f（t）=3^t-2t，故函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=3^x-2x．       
（2）當(dāng)n=1時(shí)，f（1）=1，n³=1，此時(shí) f（1）=n³；
當(dāng)n=2時(shí)，f（2）=5，n³=8，此時(shí) f（1）＜n³；
當(dāng)n=3時(shí)，f（3）=21，n³=27，此時(shí) f（3）＜n³；
當(dāng)n=4時(shí)，f（4）=73，n³=64，此時(shí) f（4）＞n³；
猜想：當(dāng)n≥4，n∈R*，都有f（n）＞n³．           
證明：①當(dāng)n=4時(shí)，顯然，猜想成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，猜想成立，即3^k＞k³+2k，
當(dāng)n=k+1時(shí)，3^k+1=3×3^k＞3×（k³+2k）=3k³+6k，
又當(dāng)k≥4時(shí)，（3k³+6k）-[（k+1）³+2（k+1）]=2k³-3k²+k-3=k•2k²-3k²+k-3≥4•2k²-3k²+k-3=5k²+k-3＞0，
故3k³+6k＞（k+1）³+2（k+1），
所以n=k+1時(shí)，3^k+1＞3k³+6k＞（k+1）³+2（k+1）結(jié)論成立，
由①②，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可知，當(dāng)n≥4，n∈R*，都有f（n）＞n³．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)解析式的求解，數(shù)學(xué)歸納法證明，屬于中檔題．