Question

從某校高三年級學生中抽取40名學生，將他們高中學業(yè)水平考試的數(shù)學成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如圖的頻率分布直方圖．
（1）若該校高三年級有640人，試估計這次學業(yè)水平考試的數(shù)學成績不低于60分的人數(shù)及相應的平均分；
（2）若從[40，50）與[90，100]這兩個分數(shù)段內的學生中隨機選取兩名學生，求這兩名學生成績之差的絕對值不大于10的概率．

Answer 1

考點：列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）根據圖中所有小矩形的面積之和等于1建立關于a的等式，解之即可求出所求；根據頻率分布直方圖，成績不低于60分的頻率，然后根據頻數(shù)=頻率×總數(shù)可求出所求；
（2）成績在[40，50）分數(shù)段內的人數(shù)，以及成績在[90，100]分數(shù)段內的人數(shù)，列出所有的基本事件，以及兩名學生的數(shù)學成績之差的絕對值不大于10的基本事件，最后利用古典概型的概率公式解之即可．

解答： （1）解：由于圖中所有小矩形的面積之和等于1，
所以10×（0.05+0.01+0.02+a+0.025+0.01）=1．       
解得a=0.03．       
根據頻率分布直方圖，成績不低于60（分）的頻率為1-10×（0.05+0.01）=0.85．
由于高三年級共有學生640人，可估計該校高三年級數(shù)學成績不低于60（分）的人數(shù)約為640×0.85=544人．                          
可估計不低于60（分）的學生數(shù)學成績的平均分為：45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1=74       
（2）成績在[40，50）分數(shù)段內的人數(shù)為40×0.05=2人，分別記為A，B．
成績在[90，100]分數(shù)段內的人數(shù)為40×0.1=4人，分別記為C，D，E，F(xiàn)
若從數(shù)學成績在[40，50）與[90，100]兩個分數(shù)段內的學生中隨機選取兩名學生，則所有的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F(xiàn)），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F(xiàn)），（C，D），（C，E），（C，F(xiàn)），（D，E），（D，F(xiàn)），（E，F(xiàn)）共15種．
如果兩名學生的數(shù)學成績都在[40，50）分數(shù)段內或都在[90，100]分數(shù)段內，那么這兩名學生的數(shù)學成績之差的絕對值一定不大于10．如果一個成績在[40，50）分數(shù)段內，另一個成績在[90，100]分數(shù)段內，那么這兩名學生的數(shù)學成績之差的絕對值一定大于10．
記“這兩名學生的數(shù)學成績之差的絕對值不大于10”為事件M，則事件M包含的基本事件有：（A，B），（C，D），（C，E），（C，F(xiàn)），（D，E），（D，F(xiàn)），（E，F(xiàn)）共7種．

點評：本題考查了由頻率分布直方圖求頻率、頻數(shù)，考查了古典概型的概率計算，是概率統(tǒng)計的基本題型，解答的關鍵是讀懂頻率分布直方圖，應用相關數(shù)據進行準確計算．