Question

17．設S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，${a_1}=1，S_n^2={a_n}（{S_n}-\frac{1}{2}）（n≥2）$
（1）求證數(shù)列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$是等差數(shù)列，并求S_n．
（2）設b_n=$\frac{S_n}{2n+3}，{T_n}={b_1}+{b_2}+{b_3}+…+{b_n}$，求T_n．
（3）若對任意正整數(shù)n不等式（4n²-4n+10）S_n＞（-1）ⁿ•a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，推導出${S_n}{S_{n-1}}=\frac{1}{2}{S_n}-\frac{1}{2}{S_{n-1}}$，從而$\frac{1}{S_n}-\frac{1}{{{S_{n-1}}}}=2$，由此能證明$\{\frac{1}{S_n}\}$是等差數(shù)列，從而能求出S_n．
（2）由${b_n}=\frac{1}{（2n-1）（2n+3）}=\frac{1}{4}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+3}）$，利用裂項求和法能求出T_n．
（3）由$（4{n^2}-4n+10）•{S_n}=\frac{{4{n^2}-4n+10}}{2n-1}=\frac{{{{（2n-1）}^2}+9}}{2n-1}$=$2n-1+\frac{9}{2n-1}$，分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)兩種情況進行討論，能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 證明：（1）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，
由已知有${S_n}^2=（{S_n}-{S_{n-1}}）（{S_n}-\frac{1}{2}）$，
即${S_n}{S_{n-1}}=\frac{1}{2}{S_n}-\frac{1}{2}{S_{n-1}}$，
∴$\frac{1}{S_n}-\frac{1}{{{S_{n-1}}}}=2$，…（3分）
∵$\frac{1}{{S}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，∴$\{\frac{1}{S_n}\}$是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}=1+（n-1）×2$=2n-1，
∴${S_n}=\frac{1}{2n-1}$…（4分）
解：（2）∵${b_n}=\frac{1}{（2n-1）（2n+3）}=\frac{1}{4}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+3}）$，
∴${T_n}=\frac{1}{4}（1-\frac{1}{5}+\frac{1}{3}-\frac{1}{7}+\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+…+\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+3}）$
=$\frac{1}{4}（\frac{4}{3}-\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$
=$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}（\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}）$．…（8分）
（3）∵$（4{n^2}-4n+10）•{S_n}=\frac{{4{n^2}-4n+10}}{2n-1}=\frac{{{{（2n-1）}^2}+9}}{2n-1}$=$2n-1+\frac{9}{2n-1}$，
∴當n為奇數(shù)時 $-a＜2n-1+\frac{9}{2n-1}$
令t=2n-1，則 $y=t+\frac{9}{t}$，∴t=5，即n=3時，$-a＜\frac{34}{5}$，即$a＞-\frac{34}{5}$，
當n為偶數(shù)時，$a＜2n-1+\frac{9}{2n-1}$，
又$2n-1+\frac{9}{2n-1}≥2\sqrt{9}=6$，
當n=2時取“=”，∴a＜6，
綜上討論得$-\frac{34}{5}＜a＜6$．…（12分）

點評 本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項和公式的求法，考查實數(shù)的取值的求法，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．