Question

已知函數(shù)R是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x²+2x．
（1）求函數(shù)f（x），x∈R的解析式；
（2）寫出函數(shù)f（x）的增區(qū)間（直接寫出結(jié)果，不必寫出求解過程）；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）-2ax+2，x∈[1，2]，求函數(shù)g（x）的最小值h（a）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的對(duì)稱性即可求函數(shù)f（x），x∈R的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)解析式即可寫出函數(shù)的增區(qū)間，
（3）求出函數(shù)g（x）=f（x）-2ax+2，x∈[1，2]的解析式即可，求函數(shù)g（x）的最小值h（a）．

解答： 解：（1）若x＜0，則-x＞0，
∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）是偶函數(shù)且f（x）=x²-2x，
∴f（-x）=x²+2x=f（x），
則f（x）=x²+2x，x＜0，
綜上f(x)=

x2+2x，x≤0 x2-2x，x＞0

．
（2）作出f（x）的圖象如圖：
則函數(shù)的增區(qū)間為（-1，0）和（1，+∞），
（3）①當(dāng)a+1≤1時(shí)，即a≤0g（x）_min=g（1）=1-2a…7
②當(dāng)1＜a+1＜2時(shí)，即0＜a＜1g(x)min=g(a+1)=-a2-2a+1，
③當(dāng)a+1≥2時(shí)，即a≥1g（x）_min=g（2）=2-2a，
綜上：h(a)=

1-2a，a≤0 -a2-2a+1，0＜a＜1 2-4a，a≥1

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用以及函數(shù)單調(diào)區(qū)間，以及函數(shù)最值的求解，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．