Question

已知半徑為的圓的圓心在軸上，圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù)，且與相切．

（Ⅰ）求圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與圓相交于兩點，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，是否存在實數(shù)，使得弦的垂直平分線過點，若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）存在實數(shù)，使得過點的直線垂直平分弦AB

【解析】此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，以及直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：點到直線的距離公式，一元二次方程根的判別式與解的關(guān)系，一元二次不等式的解法，解題的關(guān)鍵是：當(dāng)直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑；將直線與圓的方程聯(lián)立消去y后，得到關(guān)于x的一元二次方程，此一元二次方程的解的個數(shù)決定了直線與圓交點的個數(shù)．

（1）設(shè)圓心M的坐標(biāo)為（m，0），且m是整數(shù)，由圓C與已知直線垂直，得到圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，進而確定出圓C的方程；

（2）由直線ax-y+5=0，表示出y，代入圓的方程消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)直線與圓有兩個交點，得到根的判別式大于0，列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍．

（3）設(shè)符合條件的實數(shù)存在，由于，則直線的斜率為

的方程為，即

由于垂直平分弦AB，故圓心必在上，

得到結(jié)論。           

解：（Ⅰ）設(shè)圓心為（）．由于圓與直線相切，且半徑為，所以 ，即．因為為整數(shù)，故．

故所求圓的方程為． …………………………………4分

 

（Ⅲ）設(shè)符合條件的實數(shù)存在，由于，則直線的斜率為

的方程為，即

由于垂直平分弦AB，故圓心必在上，

所以，解得。由于，故存在實數(shù)

使得過點的直線垂直平分弦AB………………………12分