【題目】已知函數(shù)
(1)當 時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;(2)求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間和極值
【答案】(1);(2)見解析
【解析】
(1)把a=1代入原函數(shù)解析式中,求出函數(shù)在x=1時的導數(shù)值,直接利用直線方程的點斜式寫直線方程;
(2)求出函數(shù)的導函數(shù),由導函數(shù)可知,當a≤0時,f′(x)>0,函數(shù)在定義域(0,+∝)上單調(diào)遞增,函數(shù)無極值,當a>0時,求出導函數(shù)的零點,由導函數(shù)的零點對定義域分段,利用原函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的極值.
(1)當 時 ,則
,所以 ,
又
所以曲線 在 處的切線方程為 ,
即
(2)由 得 .
①當時,,函數(shù)在 上單調(diào)遞增,函數(shù)無極大值,也無極小值;
②當時,由 得或 (舍負),于是當 時、 在 上單調(diào)遞減;當 時, 在 上單調(diào)遞增,函數(shù) 在 處取得極小值 ,無極大值.
綜上所述:
當時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,函數(shù)既無極大值也無極小值;
當a>0時,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是,函數(shù)有極小值,無極大值
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖在△AOB中,∠AOB=90°,AO=2,OB=1,△AOC可以通過△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到,且OB⊥OC,點D為斜邊AB的中點.
(1)求異面直線OB與CD所成角的余弦值;
(2)求直線OB與平面COD所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2-1,g(x)=
(1)求f[g(2)]和g[f(2)]的值;
(2)求f[g(x)]和g[f(x)]的表達式.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》中,將底面為長方形且有一條側(cè)棱與地面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑,首屆中國國際進口博覽會的某展館棚頂一角的鋼結(jié)構(gòu)可以抽象為空間圖形陽馬,如圖所示,在陽馬中,底面.
(1)已知,斜梁與底面所成角為,求立柱的長;(精確到)
(2)求證:四面體為鱉臑.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知為常數(shù),函數(shù)
(1)過坐標原點作曲線的切線,設(shè)切點為,求;
(2)令,若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù),求的取值范圍.
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【題目】化簡
(1)
(2)
【答案】(1) ;(2) .
【解析】試題分析:(1)切化弦可得三角函數(shù)式的值為-1
(2)結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得三角函數(shù)式的值為
試題解析:
(1)tan70°cos10°( tan20°﹣1)
=cot20°cos10°( ﹣1)
=cot20°cos10°( )
=×cos10°×()
=×cos10°×()
=×(﹣)
=﹣1
(2)∵(1+tan1°)(1+tan44°)=1+(tan1°+tan44°)+tan1°tan44°
=1+tan(1°+44°)[1﹣tan1°tan44°]+tan1°tan44°=2.
同理可得(1+tan2°)(1+tan43°)
=(1+tan3°)(1+tan42°)
=(1+tan4°)(1+tan41°)=…=2,
故=
點睛:三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則:一看角,這是重要一環(huán),通過看角之間的差別與聯(lián)系,把角進行合理的拆分,從而正確使用公式 ;二看函數(shù)名稱,看函數(shù)名稱之間的差異,從而確定使用的公式,常見的有切化弦;三看結(jié)構(gòu)特征,分析結(jié)構(gòu)特征,可以幫助我們找到變形的方向,如遇到分式要通分等.
【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】平面內(nèi)給定三個向量
(1)求
(2)求滿足的實數(shù).
(3)若,求實數(shù).
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【題目】某汽車生產(chǎn)廠家為了解某型號電動汽車的“實際平均續(xù)航里程數(shù)”,收集了使用該型號電動汽車年以上的部分客戶的相關(guān)數(shù)據(jù),得到他們的電動汽車的“實際平均續(xù)航里程數(shù)”.從年齡在40歲以下的客戶中抽取10位歸為A組,從年齡在40歲(含40歲)以上的客戶中抽取10位歸為B組,將他們的電動汽車的“實際平均續(xù)航里程數(shù)”整理成下圖,其中“+”表示A組的客戶,“⊙”表示B組的客戶.
注:“實際平均續(xù)航里程數(shù)”是指電動汽車的行駛總里程與充電次數(shù)的比值.
(Ⅰ)記A,B兩組客戶的電動汽車的“實際平均續(xù)航里程數(shù)”的平均值分別為,,根據(jù)圖中數(shù)據(jù),試比較,的大小(結(jié)論不要求證明);
(Ⅱ)從A,B兩組客戶中隨機抽取2位,求其中至少有一位是A組的客戶的概率;
(III)如果客戶的電動汽車的“實際平均續(xù)航里程數(shù)”不小于350,那么稱該客戶為“駕駛達人”.從A,B兩組客戶中,各隨機抽取1位,記“駕駛達人”的人數(shù)為,求隨機變量的分布列及其數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列中,函數(shù).
(1)若正項數(shù)列滿足,試求出, , ,由此歸納出通項,并加以證明;
(2)若正項數(shù)列滿足(n∈N*),數(shù)列的前項和為Tn,且,求證: .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的首項為1,各項均為正數(shù),其前項和為,,.
(1)求,的值;
(2)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;
(3)設(shè)數(shù)列滿足,,求證:.
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