Question

【題目】已知為常數(shù)，函數(shù)

（1）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)切點(diǎn)為，求；

（2）令，若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出，求出切線的點(diǎn)斜式方程，原點(diǎn)坐標(biāo)代入，得到關(guān)于的方程，求解即可；（2）設(shè)，由在是減函數(shù)，，通過研究的正負(fù)可判斷的單調(diào)性，進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)性，可求參數(shù)的取值范圍.

（1），

所以切線的斜率為，

切線方程為。

將代入得，

即，顯然是方程的解，

又在上是增函數(shù)，

方程只有唯一解，故；

（2）

設(shè)，

在上是減函數(shù)，

，

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，

在是增函數(shù)，又，

在恒成立，即在恒成立，

在上單調(diào)遞減函數(shù)，所以，滿足題意，

當(dāng)時(shí)，即，，

函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，設(shè)為，則在上單調(diào)遞增，

在單調(diào)遞減，又，

又在內(nèi)唯一零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

從而在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

不合題意，

所以的取值范圍是.