【題目】已知函數(shù)其中

1)當,求曲線在點處的切線方程;

2)當,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

3)若對于恒成立,的最大值.

【答案】12的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.3

【解析】

1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義,求出切線斜率,由點斜式方程即可寫出切線方程;

2)求出導數(shù),依據(jù)上單調(diào)遞增,且,分別解不等式以及,即可求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間;

3)由題意得上恒成立,設(shè),用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性,求出最小值,可得.再設(shè),求出函數(shù)的最大值,即為的最大值.

1)由,得,

所以,

所以曲線在點處的切線方程為

2)由,得

因為,且 上單調(diào)遞增,所以

得,,

所以函數(shù)上單調(diào)遞增 ,

得,

所以函數(shù)上單調(diào)遞減.

綜上,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為

3)由,得上恒成立.

設(shè)

,得,().

隨著變化,的變化情況如下表所示:

0

極小值

所以上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

所以函數(shù)的最小值為

由題意,得,即

設(shè),則

因為當時,; 時,,

所以上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

所以當時,

所以當,,即,時,有最大值為

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i)若從甲市隨機抽取10名高三學生,求恰有8名學生達到本科線的概率(結(jié)果精確到0.01);

ii)已知該省乙市2020屆高考考生人數(shù)為3.6萬,假設(shè)該市每個考生本科上線率均為,若2020屆高考本科上線人數(shù)乙市的均值不低于甲市,求p的取值范圍.

可能用到的參考數(shù)據(jù):取.

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