【題目】如圖,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面四邊形ABCD為菱形,A1A=AB=2,∠ABC= ,E,F(xiàn)分別是BC,A1C的中點.
(1)求異面直線EF,AD所成角的余弦值;
(2)點M在線段A1D上, =λ.若CM∥平面AEF,求實數(shù)λ的值.

【答案】
(1)解:因為四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1為直四棱柱,

所以A1A⊥平面ABCD.

又AE平面ABCD,AD平面ABCD,

所以A1A⊥AE,A1A⊥AD.

在菱形ABCD中∠ABC= ,則△ABC是等邊三角形.

因為E是BC中點,所以BC⊥AE.

因為BC∥AD,所以AE⊥AD.

建立空間直角坐標系.則A(0,0,0),C( ,1,0),D(0,2,0),

A1(0,0,2),E( ,0,0),F(xiàn)( ,1).

=(0,2,0), =(﹣ , ,1),

所以異面直線EF,AD所成角的余弦值為 =


(2)解:設(shè)M(x,y,z),由于點M在線段A1D上,且 =λ,

則(x,y,z﹣2)=λ(0,2,﹣2).

則M(0,2λ,2﹣2λ), =(﹣ ,2λ﹣1,2﹣2λ).

設(shè)平面AEF的法向量為 =(x0,y0,z0).

因為 =( ,0,0), =( , ,1),

,得x0=0, y0+z0=0.

取y0=2,則z0=﹣1,

則平面AEF的一個法向量為n=(0,2,﹣1)

由于CM∥平面AEF,則 =0,即2(2λ﹣1)﹣(2﹣2λ)=0,解得λ=


【解析】(1)建立坐標系,求出直線的向量坐標,利用夾角公式求異面直線EF,AD所成角的余弦值;(2)點M在線段A1D上, =λ.求出平面AEF的法向量,利用CM∥平面AEF,即可求實數(shù)λ的值.
【考點精析】掌握異面直線及其所成的角和直線與平面平行的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道異面直線所成角的求法:1、平移法:在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點,作另一條的平行線;2、補形法:把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體,如正方體、平行六面體、長方體等,其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系;一條直線與一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;簡記為:線面平行則線線平行.

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