用數(shù)學(xué)歸納法證明:
2
3
4
5
6
7
2n
2n+1
1
n+1
考點(diǎn):數(shù)學(xué)歸納法
專(zhuān)題:點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法
分析:利用數(shù)學(xué)歸納法證明,①易證當(dāng)n=1時(shí),原不等式成立,②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),不等式成立,去推證當(dāng)n=k+1時(shí),原不等式也成立即可(注意利用好歸納假設(shè)).
解答: 證明:①∵當(dāng)n=1時(shí),
4
9
-
1
2
=-
1
18
<0,
4
9
1
2
,∴
2
3
1
2
=
1
1+1
,即n=1時(shí),不等式成立;
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),不等式成立,即
2
3
4
5
6
7
•…•
2k
2k+1
1
k+1

則當(dāng)n=k+1時(shí),
2
3
4
5
6
7
•…•
2k
2k+1
2(k+1)
2(k+1)+1
1
k+1
2(k+1)
2(k+1)+1
=
2
k+1
2k+3
,
∵(
2
k+1
2k+3
2-(
1
(k+1)+1
2=
4(k+1)(k+2)-(2k+3)2
(2k+3)2(k+2)
=
-1
(2k+3)2(k+2)
<0,
∴(
2
k+1
2k+3
2<(
1
(k+1)+1
2,
2
k+1
2k+3
1
(k+1)+1
,即n=k+1時(shí),原不等式也成立;
綜合①②知,對(duì)任意n∈N*,
2
3
4
5
6
7
2n
2n+1
1
n+1
點(diǎn)評(píng):本題考查不等式的證明,著重考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,當(dāng)n=k+1時(shí),證明
2
k+1
2k+3
1
(k+1)+1
是難點(diǎn),考查分析、推理與證明的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且b=c,∠A的平分線為AD,若
AB
AD
=m
AB
AC

(1)當(dāng)m=2時(shí),求cosA的值;
(2)當(dāng)
a
b
∈(1,
2
3
3
)
時(shí),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

拋物線y=2x2-1的頂點(diǎn)為A,其上一動(dòng)點(diǎn)P(x1,y1),則線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

下列各組函數(shù)中,表示同一函數(shù)的是( 。
A、f(x)=
x2
   g(x)=
3x
B、f(x)=
x
x+1
  g(x)=
x2+x
C、f(x)=x2-2x-1   g(t)=t2-2t-1
D、f(x)=
-2x3
  g(x)=x

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓
x2
4
+y2=1與直線x-y+b=0相交于P、Q兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若OP⊥OQ,求b的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

正四棱錐P-ABCD的底面為邊長(zhǎng)為
2
的正方形,高為1.則此四棱錐的兩個(gè)相鄰側(cè)面所成的二面角的余弦值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

己知圓C:x2+(y-2)2=5,直線l:mx-y+1=0.
(1)求證:對(duì)m∈R,直線l與該圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn);
(2)設(shè)直線l與圓C交與A、B兩點(diǎn),且|AB|=
19
,求該直線的斜率;
(3)求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2x-2,g(x)=-x2+4x-3,若有f(a)=g(b),則b的范圍是( 。
A、(2-
3
,2+
3
B、[2-
3
,2+
3
]
C、(-1,5)
D、[-1,5]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某學(xué)校舉行聯(lián)歡會(huì),所有參演的節(jié)目都由甲、乙、丙三名專(zhuān)業(yè)老師投票決定是否獲獎(jiǎng),甲、乙、丙三名老師都有“獲獎(jiǎng)”“待定”“淘汰”三類(lèi)票各一張,每個(gè)節(jié)目投票時(shí),甲、乙、丙三名老師必須且只能投一張票,每人投三類(lèi)票中的任意一類(lèi)票的概率為
1
3
,且三人投票相互沒(méi)有影響,若投票結(jié)果中至少有兩張“獲獎(jiǎng)”票,則決定該節(jié)目最終獲一等獎(jiǎng);否則,該節(jié)目不能獲一等獎(jiǎng).
(1)求某節(jié)目的投票結(jié)果是最終獲一等獎(jiǎng)的概率;
(2)求該節(jié)目投票結(jié)果中所含“獲獎(jiǎng)”和“待定”票票數(shù)之和X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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同步練習(xí)冊(cè)答案