Question

17．已知向量$\overrightarrow{m}$=（cosx，sinx）和$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}$-sinx，cosx）．
（1）設(shè)f（x）=$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$，求函數(shù)y=f（$\frac{π}{3}$-2x）的最小正周期和對稱軸方程；
（2）若x∈[π，2π]，求|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$|的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的數(shù)量積即可化簡f（x），再求出y=f（$\frac{π}{3}$-2x）的函數(shù)解析式，根據(jù)定義即可求出最小正周期和對稱軸方程；
（2）先平方得到|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$|²=-4sin（x+$\frac{π}{4}$）+2，再根據(jù)三角形函數(shù)的性質(zhì)即可求出最小值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（cosx，sinx）和$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}$-sinx，cosx），
∴f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{2}$cosx-cosxsinx+sinxcosx=$\sqrt{2}$cosx，
∴y=f（$\frac{π}{3}$-2x）=$\sqrt{2}$cos（$\frac{π}{3}$-2x）=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{3}$），
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，對稱軸2x-$\frac{π}{3}$=kπ，k∈z，即x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈z，
∴函數(shù)y=f（$\frac{π}{3}$-2x）的最小正周期為π，對稱軸方程x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈z；
（2）$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$=（cosx-$\sqrt{2}$+sinx，sinx-cosx），
∴|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$|²=（cosx-$\sqrt{2}$+sinx）²+（sinx-cosx）²=-4sin（x+$\frac{π}{4}$）+2，
∵x∈[π，2π]，
∴當(dāng)x+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{2}$，即x=$\frac{5π}{4}$時(shí)，-4sin（x+$\frac{π}{4}$）+2有最大值為4+2=6，
∴|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評 本題考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算和向量的模的計(jì)算以及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．