Question

7．已知向量$\overrightarrow x=k\overrightarrow a+2\overrightarrow b$和$\overrightarrow y=\overrightarrow a-\overrightarrow b$，其中$\overrightarrow a=（-1，2）$，$\overrightarrow b=（4，2）$，k∈R．
（1）當(dāng)k為何值時(shí)，有$\overrightarrow x$∥$\overrightarrow y$；
（2）若向量$\overrightarrow x$與$\overrightarrow y$的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，設(shè)$\overrightarrow x=t\overrightarrow y$，則有$k\overrightarrow a+2\overrightarrow b=t（\overrightarrow a-\overrightarrow b）$，結(jié)合向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的坐標(biāo)，可得t-k=2+t=0，解可得k的值，即可得答案；
（2）根據(jù)題意，若向量$\overrightarrow x$與$\overrightarrow y$的夾角為鈍角，則有$\overrightarrow{x}•\overrightarrow{y}$＜0，由數(shù)量積的計(jì)算公式可得$\overrightarrow x•\overrightarrow y=k{\overrightarrow a^2}-2{\overrightarrow b^2}=5k-40＜0$，結(jié)合向量不共線分析可得答案．

解答 解：（1）由$\overrightarrow x∥\overrightarrow y$，設(shè)$\overrightarrow x=t\overrightarrow y$，
所以$k\overrightarrow a+2\overrightarrow b=t（\overrightarrow a-\overrightarrow b）$，即$（t-k）\overrightarrow a=（2+t）\overrightarrow b$，
又$\overrightarrow a=（-1，2）$，$\overrightarrow b=（4，2）$，得$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$不共線，
所以t-k=2+t=0，解得k=-2，
（2）因向量$\overrightarrow x$與$\overrightarrow y$的夾角為鈍角，
所以$\overrightarrow x•\overrightarrow y=（k\overrightarrow a+2\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-\overrightarrow b）＜0$，
又$\overrightarrow a=（-1，2）$，$\overrightarrow b=（4，2）$，得$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，
所以$\overrightarrow x•\overrightarrow y=k{\overrightarrow a^2}-2{\overrightarrow b^2}=5k-40＜0$，即k＜8，
又向量$\overrightarrow x$與$\overrightarrow y$不共線，由（1）知k≠-2，
所以k＜8且k≠-2．

點(diǎn)評 本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，涉及向量平行的判定，關(guān)鍵是掌握向量數(shù)量積與向量夾角的關(guān)系．