Question

4．雙曲線$\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{b^2}=1$的離心率為2，則雙曲線的焦點到漸近線的距離是3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求得雙曲線的a=3，由離心率公式可得c=6，解得b，求出漸近線方程和焦點，運用點到直線的距離公式，計算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線$\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{b^2}=1$的a=3，c=$\sqrt{9+^{2}}$，
由e=$\frac{c}{a}$=2，即有c=2a=6，
即$\sqrt{9+^{2}}$=6，解得b=3$\sqrt{3}$．
漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，即為$\sqrt{3}$x±3y=0，
則雙曲線的焦點（0，6）到漸近線的距離是$\frac{|3×6|}{\sqrt{3+9}}$=3$\sqrt{3}$．
故答案為：3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查雙曲線的焦點到漸近線的距離，注意運用點到直線的距離公式，考查離心率公式的運用，以及運算能力，屬于基礎題．