Question

19．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，c是半焦軸距，P是雙曲線上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，滿足ctan∠PF₁F₂=atan∠PF₂F₁，則雙曲線的離心率e的取值范圍是（　�。�

• A． （1，1+$\sqrt{2}$）
• B． （$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$）
• C． （1+$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{3}$）
• D． （1+$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{tan∠P{F}_{2}{F}_{1}}{tan∠P{F}_{1}{F}_{2}}$，設(shè)P（m，n）為雙曲線的右支上一點(diǎn)，由F₁（-c，0），F(xiàn)₂（-c，0），運(yùn)用直線的斜率公式和m＞a，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：由ctan∠PF₁F₂=atan∠PF₂F₁，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{tan∠P{F}_{2}{F}_{1}}{tan∠P{F}_{1}{F}_{2}}$，
設(shè)P（m，n）為雙曲線的右支上一點(diǎn)，
由F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
可得$\frac{tan∠P{F}_{2}{F}_{1}}{tan∠P{F}_{1}{F}_{2}}$=-$\frac{n}{m-c}$•$\frac{m+c}{n}$=-$\frac{m+c}{m-c}$=-1-$\frac{2c}{m-c}$，
由m＞a可得-1-$\frac{2c}{m-c}$＞-1+$\frac{-2c}{a-c}$=-1+$\frac{2e}{e-1}$，
即有e+1＞$\frac{2e}{e-1}$，即e²-2e-1＞0，解得e＞1+$\sqrt{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運(yùn)用直線的斜率公式和雙曲線的范圍，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．