Question

9．有一塊邊長為a的正方形鐵板，現(xiàn)從鐵板的四個角各截去一個相同的小正方形，做成一個長方體形的無蓋容器，為使其容積最大，截下的小正方形邊長應(yīng)為多少？

Answer 1

分析 無蓋容器的底邊長為a-2x，無蓋容器的高為x，可得出容積V（x）與自變量x之間的關(guān)系式，由a-2x＞0，可求出V（x）的定義域；利用導(dǎo)數(shù)法，求出其函數(shù)值取最大值時，自變量x的值，即可得到要使無蓋容器的容積最大．

解答 解：設(shè)小正方形的邊長為x，由題意，無蓋容器的底邊長為a-2x，無蓋容器的高為x，
可得無蓋容器的容積是V（x）與x的函數(shù)關(guān)系式是：
V（x）=（a-2x）²•x，且V（x）的定義域為（0，$\frac{a}{2}$），
導(dǎo)數(shù)V′（x）=（a-2x）²-4x（a-2x）=（a-2x）（a-6x），
令V′（x）=0，則x=$\frac{a}{6}$，或x=$\frac{a}{2}$（舍），
由函數(shù)在（0，$\frac{a}{6}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{a}{6}$，$\frac{a}{2}$）上單調(diào)遞減，
可得截下的小正方形邊長為$\frac{a}{6}$時，無蓋容器的容積取得最大為$\frac{2{a}^{3}}{27}$．

點評 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是設(shè)出自變量并根據(jù)已知條件確定出函數(shù)的解析式和定義域，將一個實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，運用導(dǎo)數(shù)解決，屬于中檔題．