Question

7．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2≥0}\\{x+y-6≤0}\\{x-3y-2≤0}\end{array}\right.$，若目標函數(shù)z=x+ay取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，則$\frac{y}{x-a}$的最大值是$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，得到滿足題意的a值，再由$\frac{y}{x-a}$的幾何意義求得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2≥0}\\{x+y-6≤0}\\{x-3y-2≤0}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

化目標函數(shù)z=x+ay為$y=-\frac{1}{a}x+\frac{z}{a}$，
若a＞0，不滿足題意；
∴a＜0，要使目標函數(shù)z=x+ay取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，
則$-\frac{1}{a}=1$，a=-1．
$\frac{y}{x-a}$的幾何意義為可行域內(nèi)的動點與定點P（-1，0）連線的斜率，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{x-3y-2=0}\end{array}\right.$，解得A（4，2），
∴$\frac{y}{x-a}$的最大值為${k}_{PA}=\frac{2-0}{4-（-1）}=\frac{2}{5}$．
故答案為：$\frac{2}{5}$．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．