Question

12．已知四面體P-ABC中，PA=PB=4，PC=2，AC=2$\sqrt{5}$，PB⊥平面PAC，則四面體P-ABC外接球的表面積為36π．

Answer 1

分析 由題意算出PA²+PC²=AC²，結(jié)合勾股定理的逆定理得AP⊥PC．由PB⊥平面PAC證出PB⊥PA，PA⊥PC，可得PA、PB、PC兩兩互相垂直．因此以PA、PB、PC為長、寬、高作長方體，該長方體的外接球就是四面體P-ABC的外接球，根據(jù)長方體對角線公式算出外接球的直徑，從而可得所求外接球的表面積．

解答 解：∵PA=4，PC=2，AC=2$\sqrt{5}$，
∴Rt△PAC中，PA²+PC²=20=AC²，可得AP⊥PC
又∵PB⊥平面PAC，PA、PC?平面PAC
∴PB⊥PA，PA⊥PC
以PA、PB、PC為長、寬、高，作長方體如圖所示
則該長方體的外接球就是四面體P-ABC的外接球
∵長方體的對角線長為$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}+{2}^{2}}$=6
∴長方體外接球的直徑2R=6，得R=3
因此，四面體P-ABC的外接球體積為V=4π•3²=36π
故答案為：36π．

點(diǎn)評 本題給出三棱錐P-ABC滿足的條件，求它的外接球表面積．著重考查了勾股定理、長方體的對角線公式和球的表面積計(jì)算等知識，屬于中檔題．