Question

已知向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），|

a

-

b

|=

2 5

5

．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）若0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，且sinβ=-

5

13

，求sinα．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,兩角和與差的余弦函數(shù),兩角和與差的正弦函數(shù)

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）|

a

|=

cos2α+sin2α

=1，同理|

b

|=1．利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)|

a

-

b

|=

2 5

5

，可得

a 2+ b 2-2 a • b

=

2 5

5

，展開(kāi)即可得出；
（2）由0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，且sinβ=-

5

13

，可得0＜α-β＜π，cosβ=

1-sin2β

，sin（α-β）=

1-cos2(α-β)

．再利用sinα=sin[（α-β）+β]展開(kāi)即可得出．

解答： 解：（1）|

a

|=

cos2α+sin2α

=1，同理|

b

|=1．
∵|

a

-

b

|=

2 5

5

，
∴

a 2+ b 2-2 a • b

=

2 5

5

，化為2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）=

4

5

，
∴cos（α-β）=

3

5

．
（2）∵0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，且sinβ=-

5

13

，
∴0＜α-β＜π，cosβ=

1-sin2β

=

12

13

．
∴sin（α-β）=

1-cos2(α-β)

=

4

5

．
∴sinα=sin[（α-β）+β]
=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ
=

4

5

×

12

13

+

3

5

×(-

5

13

)=

33

65

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)量積運(yùn)算及其性質(zhì)、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、兩角和差的正弦余弦公式，考查了推理能力和技能數(shù)列，屬于中檔題．