Question

1．如圖，△ABC的外接圓為⊙O，延長CB至Q，再延長QA至P，且QA為⊙O的切線
（1）求證：QC²-QA²=BC•QC
（2）若AC恰好為∠BAP的平分線，AB=10，AC=15，求QA的長度．

Answer 1

分析 （1）由切線定理得QA²=QB•QC，由此能證明QC²-QA²=BC•QC．
（2）由弦切角定理和角平分線性質(zhì)得QC²=QA²=15QC，△QCA∽△QAB，由此能求出QA的長度．

解答 證明：（1）∵QA為⊙O的切線，
∴QA²=QB•QC，
∵QC-QB=BC，
∴QC²-QA²=QC²-QB•QC=BC•QC．
解：（2）∵QA為⊙O的切線，∴∠PAC=∠ABC，
∵AC恰好為∠BAP的平分線，∴∠BAC=∠ABC，
∴AC=BC=15，
∴QC²=QA²=15QC，①
又由△QCA∽△QAB，得$\frac{QC}{QA}=\frac{AC}{AB}=\frac{15}{10}$，②
聯(lián)合①②，消掉QC，得：QA=18．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩線段平差等于兩線段積的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意切線定理、弦切角定理的合理運(yùn)用．