Question

9．動圓M與定圓C₁：x²+y²+6x=0外切，且內切于定圓C₂：x²+y²-6x=40，求動圓圓心M的軌跡方程．

Answer 1

分析 設動圓圓心M（x，y），半徑為r，則|MC₁|=r+3，|MC₂|=7-r，可得|MC₁|+|MC₂|=r+3-r+7=4＞|C₁C₂|=6，利用橢圓的定義，即可求動圓圓心M的軌跡方程．

解答 解：定圓C₁：x²+y²+6x=0的圓心（-3，0），半徑：3；
圓C₂：x²+y²-6x=40的圓心（3，0），半徑為：7，
兩個圓的交點的橫坐標為：x=-$\frac{10}{3}$
設動圓圓心M的坐標為（x，y），半徑為r，則|MC₁|=r+3，|MC₂|=7-r，
∴|MC₁|+|MC₂|=r+3-r+7=10＞|C₁C₂|=6，
由橢圓的定義知，點M的軌跡是以C₁、C₂為焦點的橢圓，且2a=10，a=5，c=3，b=4，
所求的軌跡方程：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$（-$\frac{10}{3}$＜x≤5）．

點評 本題考查圓與圓的位置關系，考查橢圓的定義，考查學生分析解決問題的能力，轉化思想的應用，屬于中檔題．