Question

如圖，在四面體ABCD中，若M、N分別是棱AD、BC的中點(diǎn)，AC=BD=6，MN=3

2

，求MN與AC所成的角．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：取AB中點(diǎn)O，連結(jié)MO，NO，則NO∥AC，ON=

1

2

AC=3，MO=

1

2

BD=3，∠MNO是MN與AC所成的角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出MN與AC所成的角．

解答： 解：取AB中點(diǎn)O，連結(jié)MO，NO，
∵M(jìn)、N分別是棱AD、BC的中點(diǎn)，AC=BD=6，MN=3

2

，
∴NO∥AC，ON=

1

2

AC=3，MO=

1

2

BD=3，
∴∠MNO是MN與AC所成的角（或所成角的補(bǔ)角），
cos∠MNO=

MO2+NO2-MN2

2MO•NO

=

9+9-18

2×3×3

=0，
∴∠MNO=90°，
∴MN與AC所成的角為90°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及學(xué)生的空間想象能力、求異面直線角的能力．在立體幾何中找平行線是解決問(wèn)題的一個(gè)重要技巧，這個(gè)技巧就是通過(guò)三角形的中位線找平行線，如果試題的已知中涉及到多個(gè)中點(diǎn)，則找中點(diǎn)是出現(xiàn)平行線的關(guān)鍵技巧．