Question

1．下列命題中
①若log_a3＞log_b3，則a＞b；
②函數(shù)f（x）=x²-2x+3，x∈[0，+∞）的值域為[2，+∞）；
③設(shè)g（x）是定義在區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)．若g（a）=g（b）＞0，則函數(shù)g（x）無零點；
④函數(shù)$h（x）=\frac{{1-{e^{2x}}}}{e^x}$既是奇函數(shù)又是減函數(shù)．
其中正確的命題有②④．

Answer 1

分析 根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可判斷①；根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可判斷②；根據(jù)函數(shù)零點的定義，可判斷③；分析函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，可判斷④．

解答 解：若log_a3＞log_b3＞0，則a＜b，故①錯誤；
函數(shù)f（x）=x²-2x+3的圖象開口朝上，且以直線x=1為對稱軸，
當x=1時，函數(shù)取最小值2，無最大值，故函數(shù)f（x）=x²-2x+3，x∈[0，+∞）的值域為[2，+∞）；
故②正確；
g（x）是定義在區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)．若g（a）=g（b）＞0，
則函數(shù)g（x）可能存在零點；
故③錯誤；
數(shù)$h（x）=\frac{{1-{e^{2x}}}}{e^x}$滿足h（-x）=-h（x），故h（x）為奇函數(shù)，
又由$h′（x）=\frac{-{e}^{2x}}{{e}^{x}}$=-e^x＜0恒成立，故h（x）為減函數(shù)
故④正確；
故答案為：②④．

點評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的值域，函數(shù)的零點，函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性等知識點，難度中檔．