Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）若，求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析

【解析】試題分析：

（Ⅰ）根據(jù)題意可得，分和兩種情形討論的符號(hào)可得單調(diào)性．（Ⅱ）令 ，可得，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得，于是可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，然后再證明，即可得，從而可得成立．

試題解析：

（Ⅰ）由題意得，

①當(dāng)時(shí)，則在上恒成立，

∴在上單調(diào)遞減.

②當(dāng)時(shí)，

則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．

綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（Ⅱ）令 ，

則 ，

設(shè)，

則，

∵,

∴當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減．

∴（因?yàn)?/span>），

∴.

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴，

設(shè)，

則，

，在上遞減，

∴；

∴，故.

說明：判斷的符號(hào)時(shí)，還可以用以下方法判斷：

由得到，

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

從而在上遞減，在上遞增.

∴.

當(dāng)時(shí)，，即.