已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)對(duì)任意x,y∈(0,+∞),都有f(
xy
)=f(x)-f(y)
,且當(dāng)x>1時(shí)f(x)<0.
(Ⅰ)求f(1)的值;
(Ⅱ)判斷f(x)的單調(diào)性;
(Ⅲ)若f(2)=-1,解不等式f(x2-9)>f(x)-3.
分析:(Ⅰ)令x=y=1,即可求得f(1)的值;
(Ⅱ)利用函數(shù)單調(diào)性的定義,設(shè)0<x1<x2,結(jié)合f(
x
y
)=f(x)-f(y)即可判斷f(x)的單調(diào)性;
(Ⅲ)結(jié)合(Ⅱ),利用函數(shù)的單調(diào)性脫去“f”解關(guān)于x的不等式即可.
解答:解:(Ⅰ)令x=y=1,則f(1)=f(1)-f(1)=0;
(Ⅱ)設(shè)0<x1<x2,則
x2
x1
>1,
∵當(dāng)x>1時(shí)f(x)<0,
∴f(
x2
x1
)=f(x2)-f(x1)<0,
∴f(x2)<f(x1),
∴f(x)為(0,+∞)上的減函數(shù);
(Ⅲ)∵f(2)=-1,
∴f(4)=f(
4
2
)+f(2)=2f(2)=-2,
f(8)=f(
8
2
)+f(2)=-2+f(2)=-3,
∴f(x2-9)>f(x)-3?f(x2-9)>f(x)+f(8)=f(
x
8
),
∴f(
x2-9
8
)>f(x),
∵f(x)為(0,+∞)上的減函數(shù),
∴0<
x2-9
8
<x,
解得3<x<9.
∴不等式f(x2-9)>f(x)-3的解集為:{x|3<x<9}.
點(diǎn)評(píng):本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用,考查賦值法,突出考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,考查解不等式的能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x),對(duì)一切x、y>0,恒有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且x>0時(shí),f(x)<0.
(1)求證:f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù).
(2)f(2)=-
12
時(shí),解不等式f(ax+4)>-1.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知定義在區(qū)間[0,1]上的函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,對(duì)于滿足0<x1<x2<1的任意x1、x2,給出下列結(jié)論:
①f(x2)-f(x1)>x2-x1;
②x2f(x1)>x1f(x2);
f(x1)+f(x2)
2
<f (
x1+x2
2
).
其中正確結(jié)論的序號(hào)是
 
(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)=
(4k-1)ln
1
x
,x∈(0 , e]
kx2-kx,x∈(e , +∞)
是增函數(shù)
(1)求常數(shù)k的取值范圍
(2)過點(diǎn)(1,0)的直線與f(x)(x∈(e,+∞))的圖象有交點(diǎn),求該直線的斜率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在(0,+∞)上的三個(gè)函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=x2-af(x),h(x)=x-a
x
,且g(x)在x=1處取得極值.
(Ⅰ)求函數(shù)g(x)在x=2處的切線方程;
(Ⅱ)求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)把h(x)對(duì)應(yīng)的曲線C1向上平移6個(gè)單位后得到曲線C2,求C2與g(x)對(duì)應(yīng)曲線C3的交點(diǎn)個(gè)數(shù),并說明理由.
請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題記分.
作答時(shí),用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在(0,+∞)的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足:對(duì)任意正數(shù)x,都有f[f(x)-
1
x
]=2,則f(
1
5
)=( 。

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