Question

5．設函數(shù)f（x）=|1-$\frac{1}{x}$|（x＞0）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）是否存在正實數(shù)a，b（a＜b），使函數(shù)f（x）的定義域為[a，b]時值域為[$\frac{a}{6}$，$\frac{6}$]？若存在，求a，b的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）化為分段函數(shù)，根據(jù)y=$\frac{1}{x}$的單調(diào)性，即可判斷f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）假設存在符合題設的正實數(shù)a，b，分三種情況0＜a＜b≤1、0＜a＜1＜b、1＜a＜b，分別求出a，b的值．

解答 解：（1）f（x）=|1-$\frac{1}{x}$|=$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{x}，x≥1}\\{\frac{1}{x}-1，0＜x＜1}\end{array}\right.$，
當x≥1時，函數(shù)f（x）=1-$\frac{1}{x}$為增函數(shù)，
當0＜x＜1時，函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$-1為減函數(shù)，
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在[1，+∞）單調(diào)遞增，
（2）假設存在符合題設的正實數(shù)a，b，那么有如下三種情況：
若0＜a＜b≤1時有$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=1-\frac{1}{a}=\frac{6}}\\{f（b）=1-\frac{1}=\frac{a}{6}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{6a-6=ab}\\{6b-6=ab}\end{array}\right.$，解得a=b，與a＜b矛盾．     
若0＜a＜1＜b時有f（1）=0∈[$\frac{a}{6}$，$\frac{6}$]，那么a≤0＜b，這與a＞0矛盾．   
若1＜a＜b時有$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=1-\frac{1}{a}=\frac{a}{6}}\\{f（b）=1-\frac{1}=\frac{6}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{6a-6={a}^{2}}\\{6b-6=^{2}}\end{array}\right.$a，b是方程x²-6x+6=0的兩個根，
解得 a=3-$\sqrt{3}$，b=3+$\sqrt{3}$，
綜上，存在a=3-$\sqrt{3}$，b=3+$\sqrt{3}$滿足題意．

點評 本題主要考函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用復合函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．