Question

19．正三棱錐P-ABC，側(cè)棱長與底面邊長相等，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，異面直線AC與PF所成的角為arccos$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 作SO⊥底面ABC，交平面ABCD于點(diǎn)O，取AB中點(diǎn)E，取BC中點(diǎn)F，以O(shè)為原點(diǎn)，OE為x軸，OF為y軸，OS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AC與PF所成的角．

解答 解：作SO⊥底面ABC，交平面ABCD于點(diǎn)O，取AB中點(diǎn)E，取BC中點(diǎn)F
以O(shè)為原點(diǎn)，OE為x軸，OF為y軸，OS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=BC=AC=SA=SB=SC=2，
則A（0，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），C（-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），
P（0，0，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），F(xiàn)（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），
$\overrightarrow{AC}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{PF}$=（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），
設(shè)異面直線AC與PF所成的角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{PF}|}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{PF}|}$=$\frac{1}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴θ=arccos$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴異面直線AC與PF所成的角為arccos$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．