Question

10．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，a∈R，且函數(shù)f（x）在x=1處的切線平行于直線2x-y=0．
（Ⅰ）實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一點x₀，使得x₀+$\frac{1}{{x}_{0}}$＜mf（x₀）成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導函數(shù)，根據(jù)導函數(shù)的概念求解即可；
（Ⅱ）構造函數(shù)$h（x）=x+\frac{1}{x}-mf（x）=x+\frac{1}{x}-mlnx+\frac{m}{x}$，只需求出函數(shù)的最小值小于零即可，求出函數(shù)的導函數(shù)，對參數(shù)m進行分類討論，判斷函數(shù)的單調性，求出函數(shù)的最小值，最后得出m 的范圍．．

解答 解：（Ⅰ）∵$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}$，函數(shù)f（x）在x=1處的切線平行于直線2x-y=0．
∴f'（1）=1-a=2
∴a=-1
（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一點x₀，使得${x_0}+\frac{1}{x_0}＜mf（{x_0}）$成立，
構造函數(shù)$h（x）=x+\frac{1}{x}-mf（x）=x+\frac{1}{x}-mlnx+\frac{m}{x}$的最小值小于零．
$h'（x）=1-\frac{1}{x^2}-\frac{m}{x}-\frac{m}{x^2}=\frac{{{x^2}-mx-m-1}}{x^2}=\frac{（x+1）（x-m-1）}{x^2}$…（6分）
①當m+1≥e時，即m≥e-1時，h'（x）＜0，h（x）單調遞減，…（8分）
由$h（e）=e+\frac{1+m}{e}-m＜0$可得$m＞\frac{{{e^2}+1}}{e-1}$，
因為$\frac{{{e^2}+1}}{e-1}＞e-1$，所以$m＞\frac{{{e^2}+1}}{e-1}$；    …（10分）
②當m+1≤1，即m≤0時，h'（x）＞0，h（x）單調遞增，
由h（1）=1+1+m＜0可得m＜-2； …（11分）
③當1＜m+1＜e，即0＜m＜e-1時，
最小值為h（1+m），
因為0＜ln（1+m）＜1，所以，0＜mln（1+m）＜m，
h（1+m）=2+m-mln（1+m）＞2
此時，h（1+m）＜0不成立．
綜上所述：可得所求m的范圍是：$m＞\frac{{{e^2}+1}}{e-1}$或m＜-2．…（12分）

點評 考查了導數(shù)的概念和存在問題的轉化，利用導函數(shù)求函數(shù)的最值問題．