Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x∈（-∞，0）時，不等式f（x）+xf′（x）＜0恒成立．若a=3^0.3•f（3^0.3），b=（log₄3）•f（log₄3），c=(log2

1

4

)•f(log2

1

4

)，則a，b，c的大小關系是（　　）

A．c＞a＞b

B．a(chǎn)＞c＞b

C．a(chǎn)＞b＞c

D．c＞b＞a

Answer 1

分析：令g（x）=xf（x），則g′（x）=f（x）+xf′（x），當x∈（-∞，0）時，由于不等式f（x）+xf′（x）＜0恒成立，可得g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減．由于函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，可得g（-x）=-xf（-x）=xf（x）=g（x），是R上的偶函數(shù)．進而得到g（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．再利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：令g（x）=xf（x），則g′（x）=f（x）+xf′（x），
當x∈（-∞，0）時，∵不等式f（x）+xf′（x）＜0恒成立，∴g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
∵函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴g（-x）=-xf（-x）=xf（x）=g（x），是R上的偶函數(shù)．
∴g（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
∵log2

1

4

=-2，∴c=g（-2）=g（2）．
而2¹⁰＞3³，∴2＞3^0.3．
∴2＞3^0.3＞1＞log₄3＞0，
∴g（2）＞g（3^0.3）＞g（log₄3）．
即c＞a＞b．
故選A．

點評：本題綜合考查了通過構造函數(shù)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．